Méthode des trois moments : calcul des poutres continues (cours PDF)

RDMPDF📅 mai 19, 2021

Description

La méthode des trois moments, ou théorème de Clapeyron, est la méthode classique pour calculer les poutres continues sur plusieurs appuis. Elle fournit directement les moments sur appuis, à partir desquels on trace les diagrammes de moment et d’effort tranchant. Le document PDF associé présente la méthode ; voici l’essentiel.

1. La formule

Pour deux travées consécutives i (de longueur L_i) et i+1 (de longueur L_i+1), de même inertie, encadrant l’appui i, on écrit :

M_i−1·L_i + 2·M_i·(L_i + L_i+1) + M_i+1·L_i+1 = −6·(Ω_i + Ω’_i+1)

Les termes de droite dépendent des charges sur chaque travée. Pour une charge uniformément répartie q, le terme de charge d’une travée de longueur L vaut q·L³ / 24 ; la formule devient alors, pour deux travées chargées :

M_i−1·L_i + 2·M_i·(L_i + L_i+1) + M_i+1·L_i+1 = −(q_i·L_i³ + q_i+1·L_i+1³) / 4.

2. La démarche

Numéroter les appuis et repérer les moments connus (nuls aux appuis simples d’extrémité) ;
Écrire une équation des trois moments pour chaque appui intermédiaire ;
Résoudre le système pour obtenir les moments sur appuis ;
Calculer, travée par travée, les réactions et les moments en travée par superposition avec la poutre isostatique.

3. Exemple : deux travées égales sous charge répartie

Poutre continue sur trois appuis A, B, C, deux travées de longueur L, charge q partout. M_A = M_C = 0. L’équation à l’appui B s’écrit :

2·M_B·(2L) = −(qL³ + qL³) / 4 ⇒ M_B = −qL² / 8.

Les réactions valent 3qL/8 aux appuis de rive et 5qL/4 à l’appui central. Le moment maximal en travée est 9qL²/128, soit nettement moins que le qL²/8 d’une travée isostatique : c’est l’avantage de la continuité.

Conseils

Vérifier que la somme des réactions est égale à la charge totale ;
Attention aux signes : les moments sur appuis d’une poutre continue sont négatifs (fibres supérieures tendues) ;
En béton armé, le BAEL propose aussi des méthodes forfaitaire et de Caquot dérivées de ce calcul.

Voir aussi la méthode des forces et la catégorie RDM.

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