Méthode des forces : résoudre une structure hyperstatique (cours PDF)

RDMPDF📅 mai 20, 2021

Description

La méthode des forces (ou méthode des coupures) permet de calculer les structures hyperstatiques, c’est-à-dire celles dont les équations d’équilibre ne suffisent pas à trouver les réactions. Le document PDF associé présente la méthode ; cette fiche en résume la logique.

1. Le degré d’hyperstaticité

On compte les inconnues de liaison et on retire le nombre d’équations d’équilibre disponibles (3 dans le plan). Une poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l’autre possède 4 inconnues (3 à l’encastrement, 1 à l’appui) : elle est hyperstatique de degré 1.

2. Le principe

On supprime autant de liaisons que le degré d’hyperstaticité pour obtenir un système isostatique associé ;
On remplace chaque liaison supprimée par une force inconnue X_i (les « inconnues hyperstatiques ») ;
On écrit que le déplacement est nul (ou connu) à l’endroit de chaque liaison supprimée : ce sont les équations de compatibilité ;
On résout le système : δ_i0 + Σ δ_ij·X_j = 0, où δ_ij est le déplacement en i dû à une force unité en j, et δ_i0 celui dû aux charges.

Les coefficients δ se calculent par la méthode de la charge unité (intégrales de Mohr) : δ_ij = ∫ m_i·m_j / (E·I) dx, souvent évaluées avec les tables de Mohr.

3. Exemple : poutre encastrée-appuyée sous charge répartie

Poutre de portée L, encastrée en A, appuyée en B, sous charge q. On supprime l’appui B et on note X la réaction inconnue. Dans le système isostatique (console), la flèche en B due à q vaut q·L⁴ / (8·E·I) vers le bas, et celle due à X vaut X·L³ / (3·E·I) vers le haut. La compatibilité impose une flèche nulle en B :

X·L³ / (3EI) = q·L⁴ / (8EI) ⇒ X = 3qL / 8.

On en déduit la réaction à l’encastrement (5qL/8), le moment d’encastrement M_A = −qL²/8 et le moment maximal en travée 9qL²/128, situé à 3L/8 de l’appui B.

4. Quand l’utiliser ?

Structures peu hyperstatiques (poutres continues à deux ou trois travées, portiques simples) ;
Calcul à la main, pour comprendre le comportement avant un logiciel ;
Au-delà de quelques inconnues, on préfère la méthode des déplacements ou la méthode des trois moments pour les poutres continues.

Voir aussi notre fiche sur la méthode des trois moments et les ressources de la catégorie RDM.

Pour vous entraîner, testez vos connaissances avec nos QCM de RDM.